Gaußsche Summenformel

[ProgBeginner]

In einem eBook über die Programmiersprache (:D) "Haskell" bin ich auf etwas für mich interessantes gestossen, was ich so in der Form noch nicht kannte. Es geht um die Gaußsche Summenformel.

Gegeben sei eine natürliche Zahl N.
Aufgabe sei, die Summe aller natürlichen Zahlen bis N herauszufinden.

"Gaußsche Summenformel, komm mal her"


Summe = N * (N + 1) / 2

Setzen wir für N 4 ein und rechnen den "normalen" Weg :

1 + 2 + 3 + 4 = 10

Rechnen wir mit der Summenformel :

4 * (4+1) / 2
4 * 5 / 2
Und wir kommen ebenfalls auf 10.

Mein Ziel ist es jetzt aber nicht wirklich, hier über die Gaußsche Summenformel Unterricht zu geben - ich stelle mir dazu eine Frage :

Auch wenn das bei jeder natürlichen Ganzzahl aufgeht :

WARUM ist das so? Kann man das verständlich und logisch erklären?

[nufan]

WARUM ist das so? Kann man das verständlich und logisch erklären?

Du nimmst aus deiner Folge jeweils ein Element von vorn und hinten und addierst sie auf. Danach gehst du einen Schritt weiter.

Mit einem Beispiel ist es sicher einfacher:
N = 10
Du nimmst dein erstes und letztes Element und addierst sie:
1 + 10 = 11
Du gehst einen Schritt weiter, nimmst dein zweites und vorletztes Element:
2 + 9 = 11
Wieder ein Schritt:
3 + 8 = 11
usw:
4 + 7 = 11
5 + 6 = 11
Ab hier überschneiden sich die Folgen, wir machen aber ganz normal weiter:
6 + 5 = 11
7 + 4 = 11
8 + 3 = 11
9 + 2 = 11
10 + 1 = 11

Nun hast du an jeder Stelle als Ergebnis N + 1 und das genau N mal. Du hast aber alle Elemente doppelt drinnen, da du die Folge ja mit sich selbst addiert hast. Daraus ergibt sich der Faktor 1 / 2 in der Formel.

[ProgBeginner]

Na fest steht jedenfalls, hätte ich manche Rechenalgorithmen vorher gekannt, wäre mir Vieles leichter gefallen.

Ich wüsste jetzt zwar kein Anwendungsgebiet für 1 + 2 + 3 + 4 + [...] + N , aber trotzdem wäre Gauß dafür viel einfacher als das Zahl für Zahl in nen ETR zu hacken.

Hach ist das schön ... im Anbetrachte dessen, dass ich die Gaußsche Summenformel vorher nicht kannte ... wieder was gelernt.