Stochastik - Bernoulli-Experimente

[naums]

Hallihallöchen,

Mag jetzt vllt. bisschen doof kommen, nachdem ich schon die Übungsaufgabe zu den bernoulli-Experimenten geschrieben habe, allerdings komme ich nicht ganz mit in Mathe bei den Binomialverteilungen. Kann mir einer erklären, was ich da genau mache bzw. machen muss?

Beispielaufgabe: 10 Kugeln in einer Urne: 2 Schwarze 8 rote. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit beim zweimaligen Ziehen (mit zurücklegen), 2 schwarze zu ziehen.

MfG Naums

[canlot]

Es gibt 10 Kugeln 2 davon sind Schwarz und 8 Rot.
Die Wahrscheinlichkeit dass du eine Schwarze ziehst bertägt 2/10 also 20 % oder eine Rote 8/10 80 %.
Wenn du zweimal (mit zurücklegen) ziehen willst musst du die Warscheinlichkeiten multiplizieren, wenn man das so sagen darf: d.h. 2/10*2/10 = 4/100 ->
2 2 4
_ * _ = _
10 10 100
Nenner mal Nenner und Zähler mal Zähler.
Das heißt die Wahrscheinlichkeit zweimal die Schwarze Kugel zu ziehen bertägt 4/100 = 4 %.
Ganz schön wenig

[naums]

soweit so gut.

Wir haben allerdings etwas mit (n über k)*p(erfolg)^k*p(nichterfolg)^n-k. Was stellt jetzt hier das n und was das k dar und wie muss ich das insgesamt verstehen? Ist doch die 1. Pfadregel am Baumdiagramm.



Ich will den Pfad (ss) errechnen also nehme ich p(s)*p(s)=P(s)². (n über k) wird zu eins, weil n=2 (Anzahl der gesamten Ziehungen) und k=2 (Anzahl der Erfolge). (2 über 2) = 1. und die NichtErfolgswahrscheinlichkeit hoch NULL ist 1, weil x^0=1 .

Ist das soweit richtig?

[Dirty Oerti]

Prinzipiell ja.

Du führst n mal sogenannte Bernoulli Experimente durch. Das heißt, jedes Experiment ist unabhängig von vorangehenden oder folgenden, es gibt nur die Möglichkeiten "Erfolg" oder "Nicht-Erfolg", die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens beider Möglichkeiten sind konstant und ergeben in ihrer Summe 1 (=100%).
Die Binomialverteilung sagt nun aus, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, bei diesen n Experimenten k mal Erfolg zu haben.

In deinem Fall führst du 2 Experimente durch, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit (Ziehen einer schwarzen Kugel) konstant 20% beträgt, die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg folglich konstant 80%.
Dich interessiert die Wahrscheinlichkeit, dass beide Experimente ein erfolgreiches Ende nehmen, sprich du willst wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass du 2 mal schwarz ziehst, wenn du insgesamt nur 2 mal ziehst.

(2 über 2) * (0.2)^2 * (0.8)^0 = 1 * 0.04 * 1 = 0.04 und damit 4 %

Allgemein wird die Binomialverteilung meist so bezeichnet: P(X = k) wenn n, p bekannt sind, oder P(k,n,p) sonst.

Ein anderes Beispiel:

Du sitzt zusammen mit anderen und spielst ein Spiel. Wer eine bestimmte Karte zieht, hat das Spiel verloren und muss die Runde zahlen
Ihr seit 8 Personen, es gibt 10 Karten, eine davon ist die "Trinkkarte".
Die Wahrscheinlichkeit, 2 Runden zu schaffen (sprich jeder zieht 2 mal, und niemand muss zahlen) beträgt dann:

(16 über 0) * (0.1)^0 * (0.9)^16 =~ 0.18530 also 18%

^^

[Kerli]

Von den Pfadregeln habe ich bis jetzt noch nichts gehört, aber ich bin auch ohne ganz gut zurechtgekommen

(n über k)*p(erfolg)^k*p(nichterfolg)^n-k

Im Prinzip ist das eigentlich ganz einfach. Du hast eine Menge an Kugeln und ziehst daraus n Stück (mit zurücklegen) wobei dabei k Stück dem Kriterium für Erfolg entsprechen sollen. Die Wahrscheinlichkeit 2 schwarze Kugeln hintereinander zu ziehen ist dabei 2/10 * 2/10 (Wenn zwei Ereignisse zusammen eintreten müssen, werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert, da die Wahrscheinlichkeit des Auftretens mehrerer bestimmter Ereignisse natürlich kleiner ist als das eines einzelnen Ereignisses), also p(erfolg)^k. Gleichzeitig muss aber noch gelten dass du die anderen n-k Kugeln in einer anderen Farbe ziehst. Deshalb noch das *p(nichterfolg)^n-k.

Der Binomialkoeffizient davor gibt noch an auf wie viele Unterschiedliche Arten (Permutationen) man k Element aus n Elementen ziehen kann.

In deinen Fall, 2 Schwarze mit zwei Mal ziehen ist n=k=2 also (n über k) = 1 und n-k = 0, deshalb reduziert sich das Ergebnis zu p(erfolg)^2 also 1/25.

[naums]

Okay. Danke. Wenn noch Fragen kommen, werde ich fragen