Um geometrische Probleme mit Hilfe von Vektoren zu lösen, muss man die für Zahlen üblichen Operationen auf Vektoren übertragen und Definitionen festlegen. Das Rechnen mit Vektoren funktioniert im Übrigen nur mit Vektoren der gleichen Dimension, weshalb im folgenden allgemein dreidimensionale Vektoren zur Veranschaulichung genutzt werden. Die Regeln können aber ohne weiteres übertragen werden.

Unter dem entgegengesetzten Vektor <m>-vec{a}</m> zu einem Vektor <m>vec{a}</m> versteht man denjenigen Vektor, dessen Pfeile im Vergleich zu denen des Vektors <m>vec{a}</m> gleich lang, parallel und entgegengesetzt orientiert sind. <m>-(matrix{3}{1}{x y z}) = (matrix{3}{1}x_-y_-z)</m>
Vereinfacht gesagt wird beim Bilden des entgegengesetzten Vektors einfach der Pfeil an die andere Seite gesetzt.

Die Addition von Vektoren bedeutet das Nacheinanderausführen der durch die Vektoren beschriebenen Bewegungen. Das Ergebnis ist auch durch eine Verschiebung beschreibbar und ist deshalb ein Vektor. <m>(matrix{3}{1}{ {x_1} {y_1} {z_1} })+(matrix{3}{1}{ {x_2} {y_2} {z_2}}) = (matrix{3}{1}{ {x_1+x_2} {y_1+y_2} {z_1+z_2}})</m>
Stellen wir uns eine Bewegung vom Punkt <m>A</m> zum Punkt <m>B</m> und von da aus zum Punkt <m>C</m> vor, dann ist die resultierende Bewegung die vom Punkt <m>A</m> zum Punkt <m>C</m>.
<m>vec{AB}+vec{BC} = vec{AC}</m>

Für die Addition von Vektoren gilt:

• <m>vec{a}+vec{b} = vec{b}+vec{a}</m> (Kommutativität)
• <m>vec{a}+vec{b}+ vec{c} = ( vec{a}+ vec{b} ) + vec{c} = vec{a} + ( vec{b}+ vec{c}) = vec{b}+( vec{a}+ vec{c})</m> (Assoziativität)

Ein Vektor wird von einem anderen subtrahiert, indem man den entgegengesetzten Vektor addiert.
<m>vec{a}-vec{b} = vec{a}+({-}vec{b})</m>
<m>(matrix{3}{1}x_1_y_1_z_1) - (matrix{3}{1}x_1_y_1_z_1) = (matrix{3}{1} { {x_1-x_2} {y_1-y_2} {z_1-z_2} })</m>

Unter Vervielfachung eines Vektors versteht man seine Multiplikation mit einer reelen Zahl.

Das Ergebnis der Vervielfachung einen Vektors <m>vec{a}</m> mit der reelen Zahl r ist ein Vektor <m>vec{b}</m>.
Für <m>r > 0</m> ist der Vektor <m>vec{b}</m> parallel und gleich orientiert zum Vektor <m>vec{a}</m> und hat die r-fache Länge.
Für <m>r < 0</m> ist der Vektor <m>vec{b}</m> parallel und entgegengesetzt orientiert zum Vektor <m>vec{a}</m> und hat die <m>delim{|}{r}{|}</m>-fache Länge.
Für <m>r = 0</m> gilt <m>vec{b} = vec{o}</m>.
<m>r · (matrix{3}{1}x_y_z) = (matrix{3}{1}r_x_r_y_r_z)</m>

Für die Vervielfachung von Vektoren gibt es folgende Rechenregeln:

• <m>r · s · vec{a} = (r · s) · vec{a} = r · (s · vec{a}) = s · (r · vec{a})</m> (Assoziativität)
• <m>(r + s) · vec{a} = r · vec{a} + s · vec{a}</m> (Distributivität)
• <m>(vec{a}+\vec{b}) · r = r · vec{a} + r · vec{b}</m> (Distributivität)
• <m>r · ({-}vec{a}) = (-r) · vec{a} = -(r · vec{a})</m>

Als Betrag <m>delim{|}{vec{a}}{|}</m> eines Vektors <m>vec{a}</m> bezeichnet man die Länge der durch den Vektor beschriebenen Verschiebung. Für <m>vec{a} = overline{AB}</m> ist der Betrag des Vektors <m>vec{a}</m> gleich der Länge der Strecke <m>overline{AB}</m>.
Den Betrag eines Vektors kann man mit Hilfe der Wurzel der Summe der Koordinatenquadrate (auch bekannt als Satz des Pythagoras) berechnen:
<m>delim{|}{(matrix{2}{1}{x y})}{|} = sqrt{x^2+y^2}</m>
<m>delim{|}{(matrix{3}{1}{x y z})}{|} = sqrt{x^2+y^2+z^2}</m>

Da die Quadratwurzel einer reelen Zahl stets positiv ist muss auch der Betrag eines Vektors stets positiv sein.
<m>delim{|}{vec{a}}{|} >= 0</m>

Der Betrag der Vervielfachung eines Vektors mit einer reellen Zahl ist gleich dem Produkt des Betrages des Vektors und dem Betrag der reellen Zahl.
<m>delim{|}{r · vec{a}}{|} = delim{|}{r}{|} · delim{|}{vec{a}}{|}</m>

Der Betrag der Summe zweier Vektoren ist kleiner oder höchstens gleich der Summe der Einzelbeträge. Dies geht aus der Dreiecksungleichung hervor.
<m>delim{|}{vec{a}+vec{b}}{|} ⇐ delim{|}{vec{a}}{|}+delim{|}{vec{b}}{|}</m>

Einen Vektor, dessen Betrag gleich eins ist, nennt man Einheitsvektor.
Der zu einem Vektor <m>vec{a}</m> gehörende Einheitsvektor <m>vec{a_0}</m> ergibt sich durch <m>vec{a_0} = vec{a}/delim{|}{vec{a}}{|}</m>.

Bis jetzt haben wir Vektoren nur mit einer reelen Zahl multipliziert. Was passiert jedoch, wenn man Vektoren miteinander multipliziert? Eine Möglichkeit der Multiplikation von Vektoren stellt das Skalarprodukt dar. Die skalare Multiplikation zweier Vektoren wird durch einen Kringel (<m>circ</m>) angezeigt.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte zusammengehöriger Koordinaten.
<m>(matrix{3}{1}x_1_y_1_z_1) circ (matrix{3}{1}x_2_y_2_z_2) = {x_1 · x_2} + {y_1 · y_2} + {z_1 · z_2}</m>


Das Skalarprodukt lässt sich durch das Produkt aus den Beträgen der Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren berechnen.
<m>vec{a} circ vec{b} = delim{|}{vec{a}}{|} · delim{|}{vec{b}}{|} · cos alpha</m>, wobei <m>alpha</m> dem Winkel zwischen den beiden Vektoren <m>vec{a}</m> und <m>vec{b}</m> entspricht.

Dieser zweite Satz bietet außerdem eine einfache Möglichkeit Winkel zu berechnen, worauf aber erst später eingegangen werden soll.

Für das Skalarprodukt gelten folgende Eigenschaften:

• <m>vec{a} circ vec{b} = vec{b} circ vec{a}</m> (Kommutativität)
• <m>(vec{a}+vec{b}) circ vec{c} = vec{a} circ vec{c} + vec{b} circ vec{c}</m> (Distributivität)
• <m>t · vec{a} circ vec{b} = (t · vec{a}) circ vec{b} = (t · vec{b}) circ vec{a} = t · (vec{a} circ vec{b})</m>
• <m>(vec{a})^2 = vec{a} circ vec{a} >= 0</m>, wobei <m>(vec{a})^2 = 0</m> genau dann, wenn <m>vec{a} = vec{o}</m>
• Das Skalarprodukt ist in der Regel nicht assoziativ.

Wie aus der Formulierung bei der Einführung des Skalarproduktes bereits hervorgeht, gibt es noch eine weitere Möglichkeit Vektoren miteinander zu multiplizieren. Das Vektorprodukt wird durch ein Kreuz (<m>*</m>) gekennzeichnet und Ergebnis der verktoriellen Multiplikation ist ein Vektor.
Befinden wir uns im Raum mit <m>n</m> Dimensionen, dann benötigt man für die vektorielle Multiplikation <m>n - 1</m> Vektoren. Sie beruht auf der Matrizenrechnung; um die Sache nicht unnötig kompliziert zu machen sei hier einfach die Formel für den uns vertrauten dreidimensionalen Raum gegeben.

Im dreidimensionalen Raum ergibt sich das Vektorprodukt wie folgt:
<m>(matrix{3}{1}x_1_y_1_z_1) * (matrix{3}{1}x_2_y_2_z_2) = (matrix{3}{1}y_1_z_2_z_1_y_2_z_1_x_2_x_1_z_2_x_1_y_2_y_1_x_2)</m>

Für das Vektorprodukt gelten folgende Eigenschaften:

• Wenn <m>vec{a} * vec{b} = vec{c}</m> gilt, dann gilt auch <m>vec{c} ortho vec{a}</m> und <m>vec{c} ortho vec{b}</m>.
• Wenn <m>vec{a} * vec{b} = vec{o}</m> gilt, dann gilt auch <m>vec{a} parallel vec{b}</m>.
• <m>delim{|}{vec{a}*vec{b}}{|}=delim{|}{vec{a}}{|} · delim{|}{vec{b}}{|} · sin alpha</m>, wobei <m>alpha</m> dem Winkel zwischen <m>vec{a}</m> und <m>vec{b}</m> entspricht. Der Betrag des Vektorproduktes entspricht der Fläche des durch die Vektoren aufgespannten Parallelogrammes.
• <m>vec{a}*vec{b}={-}vec{b}*vec{a}</m> (Antikommutativität)
• <m>vec{a}*(s · vec{b} + t · vec{c})=s · (vec{a}*vec{b}) + t · (vec{a}*vec{c})</m> (Bilinearität)
• Das Vektorprodukt ist in der Regel nicht assozitativ.

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